1 . Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. a. Chứng minh OA.OD=OB.OC.
b. Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh: OH/OK= AB/CD 

2 . Cho đường tròn (O) đk AB. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.

a. Cm khi cát tuyến MN di động, trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường cố định.

b.Từ A kẻ . Tia BI cắt Ax tại C. Cm tứ giác BMCN là h.b.h

c. Cm C là trực tâm của ΔAMNΔAMN

d.Khi MN quay xung quanh H thì C di động trên đường nào?

e. Cho AB=2R, AM.AN=3R2AM.AN=3R2, AN=R3–√AN=R3. Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giác AMN 

b1: cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. vẽ ME vuông góc với AC, MD vuông góc với AB. trên các tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I và K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. chứng minh: B,I,K,C cùng nằm trên 1 đường tròn.

b2: cho đường tròn (O), đường kính AB. 1 cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.

a, chứng minh: khi cát tuyến MN di động thì I của MN luôn nằm trên đường tròn cố định (tâm cố định, bán kính không đổi)

b, từ A kẻ Ax vuông góc với MN, tia By cát Ax tại C. chứng minh: BN=CM

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB. Từ A kẻ \(Ax\perp MN\) . Gọi I là trung điểm MN, tia BI cắt Ax tại C.

a, C/minh tứ giác BMCN là hình bình hành

b, C/minh: C là trực tâm của \(\Delta AMN\)

c, C/minh khi MN quay quanh điểm H thì trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường cố định.

d, Khi MN quay quanh H tìm quĩ tích điểm C

Cho 2 đường tròn (O) và (O') giao nhau ở A và B ( O và O' thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB ). Một cát tuyển kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn (O') ở D. Kẻ OM vuông góc CD và O'N vuông góc CD. 

a) CM MN=1/2 CD

b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR đường thẳng kẻ qua I vuông góc với CD luôn luôn đi qua một điểm cố định khi cát tuyến CAD thay đổi

c) Qua A kẻ cát tuyến // với đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) ở P, cắt đường tròn (O') ở Q. So sánh độ dài các đoạn CD và PQ

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O,R) với OA=R\(\sqrt{2}\)Đường tròn tâm I đường kính OA cắt đường tròn (O) ở B và C.

1) Chứng minh AB,AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) và tính độ dài của AB, AC theo R

2) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?      

3) Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) ở D và E ( D nằm giữa A và O). Kẻ cát tuyến AMN của đường tròn (O). Chứng minh AD.AE=AM.AN= hằng số 

4) Khi cát tuyến AMN quay quanh A thì trung điểm K của đoạn MN di động trên đường cố định nào? Hãy chứng minh điều ấy

5) Cát tuyến AMN cắt BC ở J. Chứng minh rằng O,K,J,I cùng nằm trên một đường tròn và AJ.AK=AB²

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một đường thẳng d quay xung quanh trung điểm H của OB cắt đường tròn (O) tại M, N.

a) Chứng minh rằng trung điểm I của MN chạy trên đường tròn cố định khi đường thẳng d quay quanh H.

b) Vẽ AA’ vuông góc với MN, BI cắt AA’ tại D. Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành.

c) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN.

d) Khi đường thẳng d quay quanh H thì D di động trên đường nào? Tại sao ?